Question

5．已知函數(shù)f（x）=lg（ax²+ax+2）（a∈R）．
（1）若a=-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入f（x），求出f（x）的定義域，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2））f（x）的定義域為R等價于ax²+ax+2＞0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=lg（-x²-x+2），
由-x²-x+2＞0，即x²+x-2＜0，解得：-2＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-2，1）；
設(shè)t（x）=-x²-x+2，x∈（-2，1），
則y=lgt在t∈（0，+∞）為增函數(shù)．
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，
f（x）的單調(diào)區(qū)間與t（x）=-x²-x+2，x∈（-2，1）的單調(diào)區(qū)間一致．
二次函數(shù)t（x）=-x²-x+2，x∈（-2，1）的對稱軸為${x_0}=-\frac{1}{2}$
所以t（x）在$x∈（-2，-\frac{1}{2}]$單調(diào)遞增，在$x∈[-\frac{1}{2}，1）$單調(diào)遞減．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（-2，-\frac{1}{2}]$，單調(diào)減區(qū)間為$[-\frac{1}{2}，1）$．
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=lg2為常數(shù)函數(shù)，定義域為R，滿足條件．
當(dāng)a≠0時，f（x）的定義域為R等價于ax²+ax+2＞0恒成立．
于是有$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a^2}-8a＜0\end{array}\right.$，解得：0＜a＜8
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是0≤a＜8．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．