Question

9．已知函數r（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
（1）若f（x）=r（x）lnx，求函數f（x）的單調區(qū)間和最大值；
（2）若f（x）=$\frac{lnx}{ar（x）}$，且對任意x∈（0，1），恒有f（x）＜-2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最值即可；
（2）a＜0時，不合題意，a＞0時，設g（x）=$lnx+\frac{2a（1-x）}{1+x}$，求出函數的導數，通過討論a的范圍結合函數的單調性求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1-x}{1+x}lnx$，定義域為（0，+∞），…（1分）
$f'（x）=-\frac{2}{{{{（{1+x}）}^2}}}lnx+\frac{1-x}{{x（{1+x}）}}$…（2分）
易知，當x=1時，f'（x）=0，…（3分）
當x＞1時，$f'（x）=-\frac{2}{{{{（{1+x}）}^2}}}lnx+\frac{1-x}{{x（{1+x}）}}＜0$，
函數f（x）的減區(qū)間為（1，+∞）…（4分）
當0＜x＜1時，$f'（x）=-\frac{2}{{{{（{1+x}）}^2}}}lnx+\frac{1-x}{{x（{1+x}）}}＞0$，
函數f（x）的增區(qū)間為（0，1）…（5分）
所以，x=1是函數f（x）的極大值點，也是最大值點，最大值為f（1）=0．…（6分）
（2）已知函數$f（x）=\frac{1+x}{a（1-x）}lnx$，顯然a≠0，
∵x∈（0，1），∴$\frac{1+x}{1-x}lnx＜0$．
當a＜0時，f（x）＞0，不合題意．…（8分）
當a＞0時，由f（x）＜-2可得，$lnx+\frac{2a（1-x）}{1+x}＜0$，
設g（x）=$lnx+\frac{2a（1-x）}{1+x}$，則$g'（x）=\frac{{{x^2}+（2-4a）x+1}}{{x{{（1+x）}^2}}}$，…（9分）
設h（x）=x²+（2-4a）x+1，則△=16a（a-1）
若a∈（0，1]，則△≤0，h（x）≥0，g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，1）內單調遞增，
又g（1）=0，∴g（x）＜g（1）=0，
∴0＜a≤1符合題目要求；…（11分）
若a∈（1，+∞），則△＞0，∵h（0）=1＞0，h（1）=4（1-a）＜0，
∴存在x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0．…（12分）
對任意x∈（x₀，1），∵h（x）＜0，∴g'（x）＜0，
則g（x）在（x₀，1）內單調遞減，又g（1）=0，
∴當x∈（x₀，1）時，g（x）＞g（1）=0，不合題目要求．…（13分）
綜上，實數a的取值范圍是0＜a≤1．…（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、二次函數的性質，是一道綜合題．