Question

8．已知復(fù)數(shù)z₁=i（1-i）³，
（1）求|z₁|；
（2）若|z|=1，求|z-z₁|的最大值．

Answer 1

分析 （1）求模應(yīng)先求出復(fù)數(shù)的實部與虛部，再利用|a+bi|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$得出；
（2）是考查復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用．

解答 解：（1）z ₁=i（1-i） ³=i（-2i）（1-i）=2（1-i），
∴|z ₁|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{2}$．

 （2）|z|=1可看成半徑為1，圓心為（0，0）的圓，而z ₁可看成在坐標系中的點（2，-2），
∴|z-z ₁|的最大值可以看成點（2，-2）到圓上點的距離的最大值，由圖3-1-3可知，|z-z ₁|_max=2$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算，運用復(fù)數(shù)的幾何意義，采取數(shù)形結(jié)合的方法解題，可簡化解題步驟，事半功倍．也可以在設(shè)復(fù)數(shù)的過程中常設(shè)為z=a+bi（a，b∈R ）；在有關(guān)的解決軌跡的問題中常設(shè)z=x+yi，從而與解析幾何聯(lián)系起來；當復(fù)數(shù)的模為1時也可以設(shè)為z=cosθ+isinθ，用三角函數(shù)解決相關(guān)最值等．