Question

已知函數(shù)，且f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．則滿足方程f_n（x）=x的根的個數(shù)為（ ）
A．2n個
B．2n²個
C．2ⁿ個
D．2（2ⁿ-1）個

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是歸納推理，方法是根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出f的1階根的個數(shù)，2階根的個數(shù)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，f的n階根的個數(shù)．
解答：解：當(dāng)x∈[0，]時，f₁（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；
當(dāng)x∈（，1]時，f₁（x）=f（x）=2-2x=x，解得x=，
∴f的1階根的個數(shù)是2．
當(dāng)x∈[0，]時，f₁（x）=f（x）=2x，f₂（x）=4x=x，解得x=0；
當(dāng)x∈（，]時，f₁（x）=f（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x，解得x=；
當(dāng)x∈（，]時，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x，解得x=；
當(dāng)x∈（，1]時，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x，解得x=．
∴f的2階根的個數(shù)是2²．
依此類推
∴f的n階根的個數(shù)是2ⁿ．
故選C．
點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），屬于中檔題．