Question

15．定義在區(qū)間[a，b]（b＞a）上的函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$的值域是$[-\frac{1}{2}，1]$，則b-a的最大值M和最小值m分別是（　�。�

• A． $m=\frac{π}{6}，M=\frac{π}{3}$
• B． $m=\frac{π}{3}，M=\frac{2π}{3}$
• C． $m=\frac{4π}{3}，M=2π$
• D． $m=\frac{2π}{3}，M=\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 利用兩角差的正弦化簡得，f（x）=sin（$x-\frac{π}{3}$），由函數(shù)f（x）在$[a-\frac{π}{3}，b-\frac{π}{3}]$上的值域?yàn)?[-\frac{1}{2}，1]$，不妨設(shè)$a-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}$，可得b-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}，\frac{7}{6}π$]，由此可得b-a的最大值M和最小值m的值．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$=sin（$x-\frac{π}{3}$），
∵x∈[a，b]（b＞a），∴$x-\frac{π}{3}∈[a-\frac{π}{3}，b-\frac{π}{3}]$，
由函數(shù)f（x）在$[a-\frac{π}{3}，b-\frac{π}{3}]$上的值域?yàn)?[-\frac{1}{2}，1]$，
不妨設(shè)$a-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}$，則b-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}，\frac{7}{6}π$]，
∴b-a的最大值M=$\frac{7}{6}π-（-\frac{π}{6}）=\frac{4π}{3}$；
最小值m=$\frac{π}{2}-（-\frac{π}{6}）=\frac{2π}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查兩角差的正弦，考查了三角函數(shù)的值是基礎(chǔ)題．