Question

20．現(xiàn)定義max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}$，若y，z＞0且M=max{$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$，$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$}，則M的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}•\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$≥$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時，取得最小值，故$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$，$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$不可能都小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進(jìn)而得到M的最小值．

解答 解：$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}•\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$=$\frac{1}{\sqrt{（1-x）（3+x）}}$=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$=$\frac{1}{\sqrt{-（{x+1）}^{2}+4}}$≥$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時，取得最小值，
故$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$，$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$不可能都小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$，$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$至少有一個大于等于或等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故當(dāng)$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}$=$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，M取得最小值，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，其中分析兩式的積$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{（1-x）z}}•\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{（3+x）y}}$≥$\frac{1}{2}$，并正確理解其意義，是解答的關(guān)鍵．