已知A、B為拋物線C：y2 = 4x上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限l1、l2分別過點A、B且與拋物線C相切，P為l1、l2的交點.
（1）若直線AB過拋物線C的焦點F，求證：動點P在一條定直線上，并求此直線方程；
（2）設C、D為直線l1、l2與直線x = 4的交點，求面積的最小值.

（1）；（2）

解析試題分析：（1）設， （），方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用直線與拋物線y2 = 4x相切，故，求，故切線的方程。同理可求得切線方程為，聯(lián)立得交點，再注意到已知條件直線AB過拋物線C的焦點F，故表示直線AB的方程為，將拋物線焦點代入，得，從而發(fā)現(xiàn)點P橫坐標為，故點P在定直線上；（2）列面積關于某個變量的函數(shù)關系式，再求函數(shù)最小值即可，由已知得，，，故，又高為，故三角形的面積為，再求最小值即可．
（1）設， （）.
易知斜率存在，設為，則方程為.
由得，        ①
由直線與拋物線相切，知.
于是，，方程為.
同理，方程為.
聯(lián)立、方程可得點坐標為 ，
∵ ，方程為，
過拋物線的焦點.
∴，∴，點P在定直線上.
（2）由（1）知，的坐標分別為，
∴.
∴ .   
設（），，
由知，，當且僅當時等號成立.
∴ 

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖），雙曲線過點P且離心率為.
（1）求的方程；
（2）橢圓過點P且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓心過點P，求的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（14分）（2011•廣東）在平面直角坐標系xOy中，直線l：x=﹣2交x軸于點A，設P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP．
（1）當點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，﹣1），設H是E上動點，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時點H的坐標；
（3）過點T（1，﹣1）且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線l1的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標;
(2)若,求證：直線恒過定點；
(3)當時，設圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點關于直線的對稱點在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知，求過點及拋物線與軸兩個交點的圓的方程；
（3）已知，點是拋物線的焦點，是拋物線上的動點，求的最小值及此時點的坐標；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，、是橢圓的左右焦點，且橢圓經(jīng)過點.
（1）求該橢圓方程；
（2）過點且傾斜角等于的直線，交橢圓于、兩點，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（2011•山東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=﹣3于點D（﹣3，m）．
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足， ，M點的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

直線與拋物線交于兩點A、B，如果弦的長度.
⑴求的值；
⑵求證：（O為原點）。

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