Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略．

(2)

【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，其定義域是………1分

    ∴                   ………………………2分  

    令，即，解得或．

    ，∴  舍去．                          …………………3分

    當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

    ∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

    ∴ 當(dāng)x =1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．

    當(dāng)時(shí)，，即．

    ∴ 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．                      ………………………6分 

（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310454925006675/SYS201205231047379687269597_DA.files/image004.png">

    ∴ ……………7分

    ①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間

    上為增函數(shù)，不合題意………9分

    ②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即

    此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

    依題意，得解之得．                     …………………9分

    當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即

    此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

    ∴     得            ………………………11分

    綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是

              ………………………12分

    法二：

    ①當(dāng)時(shí)，

    在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……………7分

    ②當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

    只需在區(qū)間上恒成立，只要恒成立，

    解得或                  ………………………11分

    綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是

             ………………………12分