Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1；
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
（2）直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)且以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求a值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用二次項(xiàng)非0，且判別式等于0或二次項(xiàng)為0可求得a．
（2）把直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得a的范圍，根據(jù)OP⊥OQ，推斷出y₁y₂=-x₁x₂．根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁x₂．進(jìn)而根據(jù)直線方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．
解答：解：（1）聯(lián)立方程組．
∵直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q，
∴或a²-3=0
∴或a=
∴a=或
（2）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
由（1）可知，．
∵以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，
∴，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即，解得a=±1
∴a=±1時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和推理的能力，基本的運(yùn)算能力．