Question

3．對于函數(shù)f（x）和g（x），設(shè)m∈{x∈R|f（x）=0}，n∈{x∈R|g（x）=0}，若存在m、n，使得|m-n|≤1，則稱f（x）與g（x）互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=log₂（x+1）-e^1-x與g（x）=x²-ax-a+3互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． [2，$\frac{7}{3}$]
• B． [$\frac{7}{3}$，3]
• C． [2，3]
• D． [2，4]

Answer 1

分析 先得出函數(shù)f（x）=e^x-1+x-2的零點(diǎn)為x=1．再設(shè)g（x）=x²-ax-a+3的零點(diǎn)為β，根據(jù)函數(shù)f（x）=e^x-1+x-2與g（x）=x²-ax-a+3互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，及新定義的零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，有|1-β|≤1，從而得出g（x）=x²-ax-a+3的零點(diǎn)所在的范圍，最后利用數(shù)形結(jié)合法求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=log₂（x+1）-e^1-x的零點(diǎn)為x=1．
設(shè)g（x）=x²-ax-a+3的零點(diǎn)為β，
若函數(shù)f（x）=log₂（x+1）-e^1-x與g（x）=x²-ax-a+3互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，
根據(jù)零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，則|1-β|≤1，
∴0≤β≤2，如圖．

由于g（x）=x²-ax-a+3必過點(diǎn)A（-1，4），
由于g（x）=x²-ax-a+3必過點(diǎn)A（-1，4），
故要使其零點(diǎn)在區(qū)間[0，2]上，則
g（0）×g（2）≤0或$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞0\\ g（2）＞0\\△≥0\\ 0≤\frac{a}{2}≤2\end{array}\right.$，
解得：2≤a≤3，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，3]，
故選：C

點(diǎn)評 先得出函數(shù)f（x）=e^x-1+x-2的零點(diǎn)為x=1．再設(shè)g（x）=x²-ax-a+3的零點(diǎn)為β，根據(jù)函數(shù)f（x）=e^x-1+x-2與g（x）=x²-ax-a+3互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，及新定義的零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，有|1-β|≤1，從而得出g（x）=x²-ax-a+3的零點(diǎn)所在的范圍，最后利用數(shù)形結(jié)合法求解即可．