Question

已知下列不等式：（1）x²＞log₂x，（2）tanx＞sinx，（3）2^x＞e^x，（4）

1

1-x

＞

1+x

，則在x∈（0，1）內(nèi)上述不等式恒成立的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題通過特殊值比較法、作差（作商）比較法、冪函數(shù)單調(diào)性法等方法，比較出相應(yīng)各式的大小，得到符合題意的選項(xiàng)．

解答： 解：（1）∵x∈（0，1），
∴x²∈（0，1），log₂x∈（-∞，0）．
∴x²＞log₂x．故選項(xiàng)（1）正確．
（2）∵x∈（0，1），
∴sinx＞0，0＜cosx＜1．
∴tanx-sinx=

sinx

cosx

-sinx=

sinx

cosx

(1-cosx)＞0．
∴tanx＞sinx．故選項(xiàng)（2）正確．
（3）考察函數(shù)y=x^a（a＞0）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵2＜e，∴2^a＜e^a．
∴x∈（0，1），2^x＜e^x．故選項(xiàng)（3）不成立．
（4）∵x∈（0，1），∴1+x＞0，1-x＞0，

1+x

＞0，

1

1-x

＞0．
∴

1+x

1 1-x

=(1-x)

1+x

=

1-x

•

1-x

•

1+x

=

1-x

•

1-x2

．
∵x∈（0，1），∴0＜

1-x

＜1，0＜

1-x2

＜1．
∴

1

1-x

＞

1+x

．故選項(xiàng)（4）成立．
綜上，成立的選項(xiàng)有（1）、（2）、（4）．
故答案為C．

點(diǎn)評：本題考查的是不等關(guān)系判斷，考查了作差法比較、作商法比較、特殊值法比較和利用已知函數(shù)單調(diào)比較．本題思維維度不大，但有一定的計(jì)算量，屬于中檔題．