Question

在如圖所示的三棱柱中，點A、BB₁的中點M以及B₁C₁的中點N所確定的平面把三棱柱切割成體積不相等的兩部分，則小部分的體積與大部分的體積之比為

 

．

Answer 1

考點：組合幾何體的面積、體積問題

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：作出截面DNMA，幾何體擴展為三棱錐，利用特殊幾何體的體積求解一般性結論，推出結果即可．

解答： 解：延長MN與CC₁的交點為P，CB的交點為Q，連結AP交A₁C₁于D，連結DN，
可得截面為DNMA，易得A₁D=2DC₁．不妨設三棱柱是直三棱柱，
底面AB⊥BC，且設AB=BC=AA₁=2，下部分的體積為：V_P-AQC-V_P-DNC1-V_M-AQB，QB=1，MB=1，NC=1，PC₁=1．
棱柱的體積為V=

1

2

×2×2×2=4，
下部分的體積為：

1

3

×

1

2

×3×2×3-

1

3

×

1

2

×1×2-

1

3

×

1

2

×1×

2

3

×1=

23

9

．
上部分幾何體的體積為4-

23

9

=

13

9

．
小部分的體積與大部分的體積之比為：

13

9

：

23

9

=13：23．
故答案為：13：23．

點評：本題考查幾何體截面的作法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力與轉化思想，考查邏輯推理能力．