Question

從0，1，2，…，10中挑選若干個(gè)不同的數(shù)字填滿圖中每一個(gè)圓圈稱為一種“填法”，若各條線段相連的兩個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值各不相同，則稱這樣的填法為“完美填法”．
試問：對(duì)圖1和圖2是否存在完美填法？若存在，請(qǐng)給出一種完美填法；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：對(duì)于圖1，各條線段相連的兩個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值各不相同，上述填法即為完美；對(duì)于圖2不存在完美填法．利用反證法進(jìn)行證明．假設(shè)存在完美填法．由于圖中一共有10條連線，因此各連線上兩數(shù)之差的絕對(duì)值恰好為1，2，3，…，10，其和s=55為奇數(shù)；另一方面，圖中每一個(gè)圓圈所連接的連線數(shù)都為偶數(shù)條．即每一個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)在上述S的表達(dá)式中出現(xiàn)偶數(shù)次．因此S應(yīng)為偶數(shù)，出現(xiàn)矛盾．從而得出不存在完美填法．

解答：解：對(duì)圖1，上述填法即為完美（答案不唯一）．…（10分）
對(duì)于圖2不存在完美填法．因?yàn)閳D中一共有10條連線，因此各連線上兩數(shù)之差的絕對(duì)值恰好為1，2，3，…，10，…（15分）
其和s=|a₁-a₂|+|a₁-a₃|+|a₂-a₃|+…+|a₇-a₈|=55為奇數(shù)．…（20分）
另一方面，圖中每一個(gè)圓圈所連接的連線數(shù)都為偶數(shù)條．
即每一個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)在上述S的表達(dá)式中出現(xiàn)偶數(shù)次．因此S應(yīng)為偶數(shù)，矛盾．…（25分）
所以，不存在完美填法．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、反證法思想．屬于中檔題．