Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+1+alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $（{0，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 對f（x）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根x₁，x₂，由判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系求出a的取值范圍．

解答 解：由題意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$；
∵f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，解得a＜$\frac{1}{2}$；
方程的兩根為x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$；
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{a}{2}$＞0，
∴a＞0；
綜上，a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是容易出錯(cuò)的題目．