Question

15．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A₁B₁上，且滿足$\overrightarrow{{A_1}P}$=λ$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，直線PN與平面ABC所成角θ的正切值取最大值時(shí)λ的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 以AB、AC、AA₁分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，可得向量$\overrightarrow{PN}$的坐標(biāo)關(guān)于λ的表示式，而平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），可建立sinθ關(guān)于λ的式子，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，角θ達(dá)到最大值．

解答 解：以AB、AC、AA₁分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}$-λ，$\frac{1}{2}，-1$），
易得平面ABC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）
則直線PN與平面ABC所成的角θ滿足：sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}}$，于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，
而θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，當(dāng)θ最大時(shí)，sinθ最大，
所以當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，sinθ最大為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，同時(shí)直線PN與平面ABC所成的角θ得到最大值．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特殊三棱柱，探索了直線與平面所成角的最大值，著重考查了用空間向量求直線與平面的夾角等知識(shí)，屬于中檔題．