Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在定義域[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱f（x）為“等域函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=a^x，（a＞1）為“等域函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，${e}^{\frac{1}{e}}$）．

Answer 1

分析 由新定義可得函數(shù)f（x）=a^x，（a＞1）的定義域和值域均為[m，n]，即有a^m=m，aⁿ=n，即方程a^x=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，兩邊取自然對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，即可得到所求a的范圍．

解答 解：由新定義可得函數(shù)f（x）=a^x，（a＞1）的定義域和值域均為[m，n]，
即有a^m=m，aⁿ=n，
即方程a^x=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
即有l(wèi)na^x=lnx，
即lna=$\frac{lnx}{x}$有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=e取得最大值$\frac{1}{e}$．
則有圖象可得0＜lna＜$\frac{1}{e}$．
解得1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$．
故答案為：（1，${e}^{\frac{1}{e}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，屬于中檔題．