Question

17．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）推導(dǎo)出$_{n}=\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，由此利用錯(cuò)位相減法能求出{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=8{a}_{1}+4d}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2{a}_{1}+2（n-1）d+1}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．n∈N^*．
（2）由已知得$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，a_n=2n-1．n∈N^*．
∴$_{n}=\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n}}+\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+（\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{2}{{2}^{n}}）-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=3-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．