Question

19．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點A（a，0）與B（0，-b）的直線與原點的距離為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，又有直線y=$\frac{1}{2}$x與橢圓C交于D、E兩點，過D點作斜率為k的直線l₁與橢圓C的另一個交點為P，與直線x=4的交點為Q，過Q點作直線EP的垂線l₂．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線l₂恒過一定點．

Answer 1

分析 （1）過點A（a，0）與B（0，-b）的直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}=1$．根據(jù)此直線與原點的距離為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，可得$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+（-a）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{8{a}^{2}+8^{2}=5{a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得D（-2，-1），E（2，1）．可得直線l₁的方程為：y+1=k（x+2），與x=4聯(lián)立可得Q（4，6k-1）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：P$（\frac{-8{k}^{2}+8k+2}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}+4k-1}{1+4{k}^{2}}）$，可得k_EP=-$\frac{1}{4k}$．利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得${k}_{{l}_{2}}$=4k．直線l₂的方程為：y-（6k-1）=4k（x-4），利用直線系即可得出此直線過定點．

解答 （1）解：過點A（a，0）與B（0，-b）的直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}=1$，化為bx-ay-ab=0．
∵此直線與原點的距離為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，∴$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+（-a）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，化為8a²+8b²=5a²b²．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{8{a}^{2}+8^{2}=5{a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，解得b²=2，a²=8，$c=\sqrt{6}$．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）證明：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴D（-2，-1），E（2，1）．
∴直線l₁的方程為：y+1=k（x+2），
把x=4代入可得y=6k-1，∴Q（4，6k-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化為（1+4k²）x²+（16k²-8k）x+16k²-16k-4=0，
則-2×x_P=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$，解得x_P=$\frac{-8{k}^{2}+8k+2}{1+4{k}^{2}}$，y_P=$\frac{4{k}^{2}+4k-1}{1+4{k}^{2}}$．
解得P$（\frac{-8{k}^{2}+8k+2}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}+4k-1}{1+4{k}^{2}}）$，
∴k_EP=$\frac{\frac{4{k}^{2}+4k-1}{1+4{k}^{2}}-1}{\frac{-8{k}^{2}+8k+2}{1+4{k}^{2}}-2}$=-$\frac{1}{4k}$．
∴${k}_{{l}_{2}}$=4k．
∴直線l₂的方程為：y-（6k-1）=4k（x-4），
化為k（4x-10）-（y+1）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{4x-10=0}\\{y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{5}{2}$，y=-1．
∴直線l₂恒過一定點$（\frac{5}{2}，-1）$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線系的應(yīng)用、點到直線的距離公式，考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力與計算能力，屬于難題．