Question

9．如圖，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C、B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為（$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），∠AOC=α，若|BC|=1，則$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的值為$\frac{5}{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點B的坐標為（$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），設(shè)∠A0B=θ
∴sin（2π-θ）=-$\frac{5}{13}$，cos（2π-θ）=$\frac{12}{13}$，
即sinθ=$\frac{5}{13}$，cosθ=$\frac{12}{13}$，
∵∠AOC=α，若|BC|=1，∴θ+α=$\frac{π}{3}$，
則α=$\frac{π}{3}$-θ，
則$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα=cos（α+$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{3}$-θ+$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{2}-θ$）
=sinθ=$\frac{5}{13}$，
故答案為：$\frac{5}{13}$

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)的輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．