Question

7．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M（1，6），且傾斜角為$\frac{π}{3}$，圓C的方程是x²+y²-2x-24=0，直線l與圓C交于P₁，P₂兩點(diǎn)．
（1）求圓心C到直線l的距離； 
（2）求P₁，P₂兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知直線的傾斜角求出斜率，寫出直線方程的點(diǎn)斜式，化為一般式，再化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心C到直線l的距離； 
（2）由（1）中求得的點(diǎn)到直線的距離及圓的半徑，結(jié)合垂徑定理求得P₁，P₂兩點(diǎn)間的距離．

解答 解：（1）由題設(shè)知，直線l的斜率為tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
則直線方程為：y-6=$\sqrt{3}$（x-1），即$\sqrt{3}x-y+6-\sqrt{3}=0$，
圓C的方程可化為：（x-1）²+y²=25，
故圓心C的坐標(biāo)為（1，0），圓C的半徑r=5，
∴點(diǎn)C到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}×1-0+6-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}=3$；
（2）由垂徑定理可得|P₁P₂|=$2\sqrt{{r}^{2}-ogerjbt^{2}}=2\sqrt{25-9}=8$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．