Question

已知不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2對任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：將不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2轉(zhuǎn)化為（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．分k=2和k≠2兩種情況討論，對于后者利用一元二次不等式的性質(zhì)可知

k-2＞0 △=(k-2)2-8(k-2)＜0

．解不等式組即可確定k的取值范圍．

解答： 解：∵x²+x+2＞0，
∴不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2可轉(zhuǎn)化為
kx²+kx+6＞2（x²+x+2）．
即（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．
當(dāng)k=2時，不等式恒成立．
當(dāng)k≠2時，不等式（k-2）x²+（k-2）x+2＞0恒成立等價于

k-2＞0 △=(k-2)2-8(k-2)＜0

．
解得2＜k＜10．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2，10）．

點(diǎn)評：本題考查分情況討論的數(shù)學(xué)思想以及一元二次不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．