已知函數(shù)f(x)=2sin2x+
3
sin2x-1.
(1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)若方程f(x-
π
6
)+4sinx+1=a在x∈[
π
6
π
2
]上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):三角方程,函數(shù)的零點(diǎn)
專(zhuān)題:三角函數(shù)的求值
分析:(1)f(x)=2sin(2x-
π
6
),令2x-
π
6
=kπ
,得x=
π
12
+
2
,由此能求出f(x)的零點(diǎn).
(2)由已知得a=4(sinx+
1
2
)2-2
,由此利用已知條件能推導(dǎo)出a∈[2,7].
解答: 解:(1)f(x)=1-cos2x+
3
sin2x-1=2(sin2xcos
π
6
-cos2xsin
π
6
)=2sin(2x-
π
6
)

令:2x-
π
6
=kπ
,得x=
π
12
+
2
,所以f(x)的零點(diǎn)為x=
π
12
+
2

(2)a=f(x-
π
6
)+4sinx+1=2sin(2x-
π
3
-
π
6
)+4sinx+1=-2cos2x+4sinx+1

=-2(1-2sin2x)+4sinx+1
=4sin2x+4sinx-1
=4(sinx+
1
2
)2-2

當(dāng)x∈[
π
6
,
π
2
]
時(shí),sinx∈[
1
2
,1]
4(sinx+
1
2
)2-2∈[2,7]

因?yàn)?span id="fjrqcvt" class="MathJye">f(x-
π
12
)+4sinx=a在x∈[
π
6
,
π
2
]
上有解,所以a∈[2,7]
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=2cos2x+2
3
(sinxcosx+
3
a
6
),其中x∈R,a為常數(shù)則
(1)求y=f(x)的最小正周期;
(2)若角C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角中的最大角且y=f(c)的最小值為0,求a的值;
(3)在(2)的條件下,試畫(huà)出y=f(x)(x∈[0,π])的簡(jiǎn)圖.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求函數(shù)f(x)=x2+|x-2|,x∈[0,4]的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某房地產(chǎn)項(xiàng)目打造水景工程,擬在小區(qū)綠地中建設(shè)人工湖.該綠地形狀為Rt△OPQ(如圖),∠POQ=90°,OP=40m,OQ=40
3
m.人工湖也呈三角形形狀,三個(gè)頂點(diǎn)分別為O、M、N,其中點(diǎn)M,N在線段PQ上.若∠MON=30°,當(dāng)∠POM取何值時(shí),人工湖的面積最?并求面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知x,y∈R,若2x+(5-y)i 和3x-3-(y+3)i是共軛復(fù)數(shù),且復(fù)數(shù)Z=x+yi,求|Z|和復(fù)數(shù)Z的共軛復(fù)數(shù)
.
Z

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an,1,2Sn(n∈N*)成等差數(shù)列.
(1)求a1,a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且滿足bn=(3n-1)•an(n∈N*,證明:Tn
7
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某種商品每件進(jìn)價(jià)9元,售價(jià)20元,每天可賣(mài)出69件.若售價(jià)降低,銷(xiāo)售量可以增加,且售價(jià)降低x(0≤x≤11)元時(shí),每天多賣(mài)出的件數(shù)與x2+x成正比.已知商品售價(jià)降低3元時(shí),一天可多賣(mài)出36件.
(Ⅰ)試將該商品一天的銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù);
(Ⅱ)該商品售價(jià)為多少元時(shí)一天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

曲線f(x)=cosx(x>0)上所有切線斜率為0的切點(diǎn)按從左至右的順序排成點(diǎn)列(an,f(an))(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
an
2n
,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求cosT6的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax)(a>0,a≠1)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若函數(shù)f(x)在[2,6]上遞增,并且最小值為loga
7
9a
),求實(shí)數(shù)a的值.

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