Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n，1，2S_n（n∈N^*）成等差數(shù)列．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足b_n=（3n-1）•a_n（n∈N^*，證明：T_n＜

7

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n，1，2S_n成等差數(shù)列，可得a_n=2-2S_n，代入計算求a₁，a₂的值；
（2）利用a_n與s_n的關(guān)系求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）利用錯位相減法求得T_n，進(jìn)行放縮即得結(jié)論成立．

解答： 解：（1）∵a_n，1，2S_n成等差數(shù)列，∴a_n=2-2S_n，
∴令n=1，解得a₁=

2

3

；令n=2，解得a₂=

2

9

…（2分）
（2）由a_n=2-2S_n，
當(dāng)n≥2時，由a_n-1=2-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n…（4分）
即a_n=

1

3

a_n-1…（5分）  
又a₁=

2

3

，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，…（6分）
∴a_n=2•

1

3n

 …（7分）
（3）∵b_n=（3n-1）•a_n=1（3n-1）•

1

3n

  …（8分）
∴T_n=2[2•

1

3

+5•

1

32

+…+（3n-1）

1

3n

]，
∴

1

3

T_n=2[2•

1

32

+5•

1

33

+…+（3n-4）

1

3n

+（3n-1）•

1

3n+1

]，
兩式相減，整理可得T_n=

7

2

-

1

3n

（3n+

7

2

），
∴T_n＜

7

2

． …（14分）

點評：本題主要考查了數(shù)列通項公式及數(shù)列求和的方法，屬常規(guī)題目，屬中檔題．