Question

15．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），平面內(nèi)任意一點(diǎn)P滿(mǎn)足：直線(xiàn)PA的斜率k₁，直線(xiàn)PB的斜率k₂，k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C₁，雙曲線(xiàn)C₂以曲線(xiàn)C₁的上下兩頂點(diǎn)M、N為頂點(diǎn)，Q是雙曲線(xiàn)C₂上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)QM的斜率為k₃，直線(xiàn)QN的斜率k₄．
（1）求曲線(xiàn)C₁的方程；
（2）如果k₁k₂+k₃k₄≥0，分別求雙曲線(xiàn)C₂的兩條漸近線(xiàn)傾斜角的取值范圍；（理）
（3）如果k₁k₂+k₃k₄≥0，分別求雙曲線(xiàn)C₂的焦距的取值范圍．（文）

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到曲線(xiàn)C₁的方程；
（2）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），Q（x₀，y₀）在雙曲線(xiàn)上，再由直線(xiàn)的斜率公式，結(jié)合k₁k₂+k₃k₄≥0求得b的范圍，即可得到雙曲線(xiàn)C₂的兩漸近線(xiàn)的斜率的范圍，進(jìn)一步求得雙曲線(xiàn)C₂的兩條漸近線(xiàn)傾斜角的取值范圍；
（3）由（2）中求得的b的范圍，結(jié)合焦距為2$\sqrt{3+^{2}}$求得答案．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），
則${k}_{1}{k}_{2}=\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{3}{4}$，
∴曲線(xiàn)C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）；
（2）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），
Q（x₀，y₀）在雙曲線(xiàn)上，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$（b＞0），
∵k₃k₄=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{3}{^{2}}$，
∴-$\frac{3}{4}+\frac{3}{^{2}}$≥0，∴0＜b≤2，
∵雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的斜率分別為$\frac{\sqrt{3}}、-\frac{\sqrt{3}}$，
∴雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的斜率的范圍分別為[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）、（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
∴雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的傾斜角的范圍為[$arctan\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{π}{2}$）、（$\frac{π}{2}$，$π-arctan\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
（3）由雙曲線(xiàn)C₂的焦距為2$\sqrt{3+^{2}}$，
又0＜b≤2，
∴雙曲線(xiàn)C₂的焦距的取值范圍∈（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，主要考查橢圓和雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線(xiàn)的斜率和傾斜角間的關(guān)系，屬于中檔題．