Question

【題目】已知函數(shù)，記在點(diǎn)處的切線為.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)的圖像（除切點(diǎn)外）均為切線的下方；

（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，考慮極值點(diǎn)以及函數(shù)的凹凸性，即可得證；

（2）討論a＜0，a＝0，a＞1，a＝1，0＜a＜1時(shí)，函數(shù)h（x）＝f（x）﹣2lnx的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，最值，即可得到所求g（x）的最小值．

（1）設(shè)切線方程為

記 .

，，，

,

在上單調(diào)遞減.

，，在上單調(diào)遞增，

，，在上單調(diào)遞減.

∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.

故命題成立

（2）.

設(shè)，，

1)當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且.

∴，在上單調(diào)遞增.

∴

2)當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，，有兩根，，

，，不妨令，

，，即，在上單調(diào)遞減，

，，即，在上單調(diào)遞增，

①當(dāng)，即，，在上單調(diào)遞增.

，∴；

②當(dāng)，即時(shí)，，

，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

，

存在使得，

∴.

綜上可得.