Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-a|．
（1）若f（x）的最小值為2，求a的值；
（2）若f（x）≤|2x-4|的解集包含[-2，-1]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）的最小值為2，求得a的值．
（2）由題意可得，x∈[-2，-1]時，f（x）≤|2x-4|恒成立，即-5+a≤2x≤5+a恒成立，即$\left\{\begin{array}{l}{-5+a≤-4}\\{-2≤5+a}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-a|≥|2x+1-（2x-a）|=|a+1|，且f（x）的最小值為2，
∴|a+1|=2，∴a=1 或a=-3．
（2）f（x）≤|2x-4|的解集包含[-2，-1]，即x∈[-2，-1]時，f（x）≤|2x-4|恒成立，
即|2x+1|+|2x-a|≤|2x-4|恒成立，即-2x-1+|2x-a|≤4-2x恒成立，
即|2x-a|≤5恒成立，即-5+a≤2x≤5+a恒成立，即$\left\{\begin{array}{l}{-5+a≤-4}\\{-2≤5+a}\end{array}\right.$，∴-7≤a≤1．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．