【題目】如圖，在四棱錐中，等邊三角形所在的平面垂直于底面，， ，是棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判斷直線(xiàn)與平面的是否平行，并說(shuō)明理由．

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析 (Ⅱ) （Ⅲ）直線(xiàn)與平面不平行

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理直接證得結(jié)果；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求解出平面和平面的法向量，然后求出法向量夾角的余弦值，由二面角為銳二面角，可得到所求二面角的余弦值；（Ⅲ）求解平面的法向量，可知與法向量不垂直，由此得到結(jié)論為不平行.

（Ⅰ）證明：平面平面，平面平面，平面且

平面

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，

又 四邊形是平行四邊形

平面

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，，

，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由

得令，得，，所以

因?yàn)?/span>軸垂直于平面，所以取平面的一個(gè)法向量

所以二面角的余弦值為

（Ⅲ）直線(xiàn)與平面不平行

理由如下：，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由

得令，得，所以

所以與不垂直，又因?yàn)?/span>平面

所以直線(xiàn)與平面不平行

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠(chǎng)C發(fā)生爆炸出現(xiàn)毒氣泄漏，已知毒氣以圓形向外擴(kuò)散，且半徑以每分鐘的速度增大. 一所學(xué)校A，位于工廠(chǎng)C南偏西，且與工廠(chǎng)相距.消防站B位于學(xué)校A的正東方向，且位于工廠(chǎng)C南偏東，立即以每分鐘的速度沿直線(xiàn)趕往工廠(chǎng)C救援，同時(shí)學(xué)校組織學(xué)生P從A處沿著南偏東的道路，以每分鐘的速度進(jìn)行安全疏散(與爆炸的時(shí)間差忽略不計(jì)).要想在消防員趕往工廠(chǎng)的時(shí)間內(nèi)(包括消防員到達(dá)工廠(chǎng)的時(shí)刻)，保證學(xué)生的安全，學(xué)生撤離的速度應(yīng)滿(mǎn)足什么要求？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線(xiàn)與橢圓分別交于，兩點(diǎn).

（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.

（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線(xiàn)總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】交通部門(mén)調(diào)查在高速公路上的平均車(chē)速情況，隨機(jī)抽查了60名家庭轎車(chē)駕駛員，統(tǒng)計(jì)其中有40名男性駕駛員，其中平均車(chē)速超過(guò)的有30人，不超過(guò)的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)的有5人，不超過(guò)的有15人.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為，家庭轎車(chē)平均車(chē)速超過(guò)與駕駛員的性別有關(guān)；

平均車(chē)速超過(guò)的人數(shù)

平均車(chē)速不超過(guò)的人數(shù)

合計(jì)

男性駕駛員

女性駕駛員

合計(jì)

（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體，隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車(chē)，記這3輛車(chē)中，駕駛員為女性且平均車(chē)速不超過(guò)的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：

臨界值表：

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，對(duì)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)N在曲線(xiàn)上，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，記點(diǎn)的軌跡為

（1）求的軌跡方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上 (為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，幾何體中，為邊長(zhǎng)為2的正方形，為直角梯形，，，，，．

（1）求證：；

（2）求二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為滿(mǎn)足.

（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若正整數(shù)數(shù)列，滿(mǎn)足：對(duì)任意，，都有恒成立，則稱(chēng)數(shù)列，為“友好數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，求證：數(shù)列，為“友好數(shù)列”；

（2）已知數(shù)列，為“友好數(shù)列”，且，求證：“數(shù)列是等差數(shù)列” 是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.

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