Question

20．若復(fù)數(shù)z=$\frac{2}{（1-i）^{2}}$+$\frac{3+i}{1-i}$的虛部為m，函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$，x∈[2，3]的最小值為n．
（1）求m，n；
（2）求由曲線y=x，直線x=m，x=n以及x軸所圍成平面圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得m，利用基本不等式求最值求得n；
（2）根據(jù)定積分的幾何意義即可求出．

解答 解：（1）z=$\frac{2}{（1-i）^{2}}$+$\frac{3+i}{1-i}$=$\frac{2}{1-1-2i}$+$\frac{（3+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=i+1+2i=1+3i，
∴m=3，
∵f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時取等號，
∴n=5，
（2）由曲線y=x，直線x=m，x=n以及x軸所圍成平面圖形的面積S=${∫}_{3}^{5}$xdx=$\frac{1}{2}$x²|${\;}_{3}^{5}$=$\frac{1}{2}$（25-9）=8

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了函數(shù)值域的求法，和定積分的計(jì)算，是中檔題．