Question

15．已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式2+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln（n+1）都成立．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x，對其進(jìn)行求導(dǎo)，在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，求得a值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）法一：f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出ln（x+1）-x²-x≤0，令x=$\frac{1}{n}$，利用不等式進(jìn)行放縮證明；
法二：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明；法三：根據(jù)定積分證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x，
f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極值，
∴f′（0）=0，解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意，
∴f′（x）=$\frac{-x（2x+3）}{x+1}$，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＞0，于是f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，于是f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）法一：由（1）得：f（0）是f（x）在（-1，+∞）上的最大值，
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0，（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，“=”成立），
對任意正整數(shù)n，取x=$\frac{1}{n}$＞0得：ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴l(xiāng)n（$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
故2+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln2+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1）；
（方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\frac{1+1}{1^2}=2$，右邊=ln（1+1）=ln2，顯然2＞ln2，不等式成立．
假設(shè)n≥k（k∈N^*，k≥1）時(shí)，$2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+$…$+\frac{k+1}{k^2}＞$ln（k+1）成立，
則n=k+1時(shí)，有$2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+$…$+\frac{k+1}{k^2}+\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}＞\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}+ln（k+1）$；
作差比較：$ln（k+2）-ln（k+1）-\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}=ln\frac{k+2}{k+1}-\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}=ln（1+\frac{1}{k+1}）-（\frac{1}{k+1}+\frac{1}{{{{（k+1）}^2}}}$，
構(gòu)建函數(shù)F（x）=ln（1+x）-x-x²（x∈（0，1）），
則$F'（x）=\frac{-x（2x+3）}{x+1}＜0$，∴F（x）在（0，1），
單調(diào)遞減，∴F（x）＜F（0）=0，
取$x=\frac{1}{k+1}（k≥1，k∈{N^*}）$，$ln（1+\frac{1}{k+1}）-（\frac{1}{k+1}+\frac{1}{{{{（k+1）}^2}}}）＜F（0）=0$，
即$ln（k+2）-ln（k+1）-\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}=ln\frac{k+2}{k+1}-\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}＜0$，
亦即$\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}+ln（k+1）＞ln（k+2）$，
故n=k+1時(shí)，有$2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+$…$+\frac{k+1}{k^2}+\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}＞\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}+ln（k+1）＞ln（k+2）$，
不等式成立，
綜上可知，對任意的正整數(shù)n，不等式$2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+$…$+\frac{n+1}{n^2}＞$ln（n+1）都成立；
方 法三   $2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+…\frac{n+1}{n^2}＞\int_1^{n+1}{\frac{x+1}{x^2}}dx$
=$\int\begin{array}{l}n+1\\ 1\end{array}（\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}）dx=（lnx-\frac{1}{{3{x^3}}}）|_1^{n+1}$
=$ln（n+1）-ln1-\frac{1}{{3{{（n+1）}^3}}}+\frac{1}{3}$
=$ln（n+1）-\frac{1}{{3{{（n+1）}^3}}}+\frac{1}{3}$
＞ln（n+1）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，第三問難度比較大，利用了前兩問的結(jié)論進(jìn)行證明，此題是一道中檔題．