Question

6．若對于任意實數(shù)x、y總有f（xy）=f（x）+f（y），則下列各式中錯誤的是（　�。�

• A． f（1）=0
• B． f（$\frac{1}{x}$）=f（x）
• C． f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）
• D． f（xⁿ）=nf（x）（n∈N）

Answer 1

分析 利用對于任意實數(shù)x、y總有f（xy）=f（x）+f（y），對四個選項分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：A、因為對于任意實數(shù)x，y，總有f（xy）=f（x）+f（y），
則令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0，正確；
B、令y=$\frac{1}{x}$，xy=1，則f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，所以f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），不正確；
C、以$\frac{1}{y}$代y，則f（$\frac{x}{y}$）=f（x）+f（$\frac{1}{y}$）=f（x）-f（y），正確；
D、f（x²）=f（x•x）=f（x）+f（x）=2f（x）
f（x³）=f（x•x²）=f（x）+f（x²）=f（x）+2f（x）=3f（x）
故可知D正確．
故選：B．

點評 本題考查抽象函數(shù)，考查賦值法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．