【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．

(Ⅰ)證明：無(wú)論取何值，總有；

(Ⅱ)當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值．

【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析; (Ⅱ) 當(dāng)時(shí)取得最大值,此時(shí).

【解析】

試題(Ⅰ)由勾股定理可證得.從而可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)已知條件可得各點(diǎn)的坐標(biāo).從而可得各向量的坐標(biāo).根據(jù),可得點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)數(shù)量積公式證,即證得.(Ⅱ)根據(jù)線面垂直可得面的一個(gè)法向量. 直線與平面所成的角的正弦值等于與面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值.根據(jù)配方法可求得其最值.

試題解析：證明：由，可得，

則 即 、、兩兩相互垂直

如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則

，可得

( Ⅰ）∵，

∴

∴無(wú)論取何值，

（Ⅱ）∵（0，0，1）是平面的一個(gè)法向量

∴=

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，

此時(shí)=,=,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，試判斷的符號(hào)，并證明.

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【題目】直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成的角為( )

A. B. C. D.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線是過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和曲線的一個(gè)參數(shù)方程；

（Ⅱ）曲線與曲線相交于， 兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是一個(gè)纜車示意圖，該纜車的半徑為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8 m，纜車每60 s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面的距離為h m．

（1）求h與θ之間的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t s達(dá)到OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并計(jì)算經(jīng)過(guò)45 s后纜車距離地面的高度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，D是AC的中點(diǎn)，四邊形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．

若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn)，證明：平面AMC；

求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,已知橢圓的長(zhǎng)軸為,過(guò)點(diǎn)的直線與軸垂直,橢圓的離心率, 為橢圓的左焦點(diǎn),且.

（Ⅰ）求此橢圓的方程;

（Ⅱ）設(shè)是此橢圓上異于的任意一點(diǎn), , 為垂足,延長(zhǎng)到點(diǎn)使得.連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn), 為的中點(diǎn),判定直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為，直線被圓M截得的弦長(zhǎng)為，且圓心M在直線l的上方.

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)，，若圓M是的內(nèi)切圓，求AC，BC邊所在直線的斜率（用t表示）；

（3）在（2）的條件下求的面積S的最大值及對(duì)應(yīng)的t值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】閱讀如圖所示的程序框圖，解答下列問(wèn)題：

（1）求輸入的的值分別為時(shí)，輸出的的值；

（2）根據(jù)程序框圖，寫(xiě)出函數(shù)（）的解析式；并求當(dāng)關(guān)于的方程有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.

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