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【題目】如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，，分別是，的中點，點在直線上，且．

(Ⅰ)證明：無論取何值，總有；

(Ⅱ)當取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時的正切值．

【答案】(Ⅰ)詳見解析; (Ⅱ) 當時取得最大值,此時.

【解析】

試題(Ⅰ)由勾股定理可證得.從而可建立如圖所示空間直角坐標系.根據已知條件可得各點的坐標.從而可得各向量的坐標.根據,可得點的坐標.根據數量積公式證,即證得.(Ⅱ)根據線面垂直可得面的一個法向量. 直線與平面所成的角的正弦值等于與面的法向量所成角的余弦值的絕對值.根據配方法可求得其最值.

試題解析：證明：由，可得，

則 即 、、兩兩相互垂直

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，

則

，可得

( Ⅰ）∵，

∴

∴無論取何值，

（Ⅱ）∵（0，0，1）是平面的一個法向量

∴=

∴當時，取得最大值，

此時=,=,

練習冊系列答案
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【題目】已知函數（）.

（1）若曲線在點處與直線相切，求的值；

（2）若函數有兩個零點，，試判斷的符號，并證明.

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【題目】直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成的角為( )

A. B. C. D.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線是過點，傾斜角為的直線，以直角坐標系的原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和曲線的一個參數方程；

（Ⅱ）曲線與曲線相交于， 兩點，求的值．

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【題目】如圖是一個纜車示意圖，該纜車的半徑為4.8 m，圓上最低點與地面的距離為0.8 m，纜車每60 s轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面的距離為h m．

（1）求h與θ之間的函數解析式；

（2）設從OA開始轉動，經過t s達到OB，求h與t之間的函數解析式，并計算經過45 s后纜車距離地面的高度．

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【題目】如圖，D是AC的中點，四邊形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．

若點M是線段BF的中點，證明：平面AMC；

求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．

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【題目】如圖,已知橢圓的長軸為,過點的直線與軸垂直,橢圓的離心率, 為橢圓的左焦點,且.

（Ⅰ）求此橢圓的方程;

（Ⅱ）設是此橢圓上異于的任意一點, , 為垂足,延長到點使得.連接并延長交直線于點, 為的中點,判定直線與以為直徑的圓的位置關系.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為，直線被圓M截得的弦長為，且圓心M在直線l的上方.

（1）求圓的方程；

（2）設，，若圓M是的內切圓，求AC，BC邊所在直線的斜率（用t表示）；

（3）在（2）的條件下求的面積S的最大值及對應的t值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】閱讀如圖所示的程序框圖，解答下列問題：

（1）求輸入的的值分別為時，輸出的的值；

（2）根據程序框圖，寫出函數（）的解析式；并求當關于的方程有三個互不相等的實數解時，實數的取值范圍.

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