已知曲線C上任意一點P到點F（
3
，0）和直線l：x=
4
3
的距離之比為
3
2
．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設過（0，-2）的直線l與曲線C交于A、B兩點，以AB為直徑的圓過曲線C的中心，求直線l的方程．
考點：軌跡方程,直線的一般式方程,直線與圓錐曲線的關系
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）直接由題意列式，整理后即可得到曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，當直線斜率不存在時不合題意；當直線斜率存在時，寫出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關系得到A，B兩點的橫縱坐標的積，然后由向量數(shù)量積為0得答案．
解答： 解：（Ⅰ）設P（x，y），由題意得，
(x-
3
)2+y2
|x-
4
3
|
=
3
2
，兩邊平方后整理得：
x2
4
+y2=1．
故曲線C的方程為：
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx-2，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
由方程組
x2
4
+y2=1
y=kx-2
，得（1+4k2）x2-16kx+12=0．
則x1+x2=
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2
，
∵以AB為直徑的圓過曲線C的中心，
∴
OA
⊥
OB
，
∴x1x2+y1y2=0，
∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，
y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4，
∴（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0，
∴(1+k2)•
12
1+4k2
-2k•
16k
1+4k2
+4=0，
解得：k=2或k=-2，
經(jīng)檢驗符合△＞0．
∴直線l的方程為：y=2x-2或y=-2x-2．
點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及直線與圓錐曲線關系問題，常采用聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，然后利用根與系數(shù)關系求解，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列四個命題：
①P在直線BC1上運動時，三棱錐A-D1PC的體積不變；
②P在直線BC1上運動時，直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；
③P在直線BC1上運動時，二面角P-AD1C的大小不變；
④M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則M點的軌跡是過D1點的直線
其中真命題的個數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=-9，a2+a3+a4=6，則a3+a4+a5=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=3cos（2x+φ）是奇函數(shù)，則|φ|的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sin（π-a）=3sin（
π
2
-a），求下列各式的值．
（1）
4sina-cosa
3sina+5cona
；
（2）
3
4
sin2a+
1
2
cos2a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（1+x+mx2）10的展開式中x4的系數(shù)大于-330，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C．若
BF
=2
FC
，則雙曲線的離心率是（　　）
A、
5
B、
6
C、5
D、
10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=
1
2
CD=2，點M是EC中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求三棱錐M-BDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P（-3，
3
），則行列式
.
sinαtanα
1cosα
.
的值為
 
．

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