Question

15．如果函數(shù)y=x+$\frac{2^b}{x}（{x≥4}）$的最小值為6，求b的值．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合x的范圍，從而求出函數(shù)取最小值時的b的值．

解答 解：y′=1-$\frac{{2}^}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}{-2}^}{{x}^{2}}$，
令y′＞0，解得：x＞$\sqrt{{2}^}$，
令y′＜0，解得：x＜$\sqrt{{2}^}$，
∴函數(shù)在（0，$\sqrt{{2}^}$）遞減，在（$\sqrt{{2}^}$，+∞）遞增，
∴函數(shù)在x=$\sqrt{{2}^}$時取得最小值，
∴$\sqrt{{2}^}$+$\frac{{2}^}{\sqrt{{2}^}}$=6，解得：2^b=9，
代入函數(shù)的不表達(dá)式得：x=3，
∵x≥4，不合題意，
∴x=4時，函數(shù)值最小，
此時：4+$\frac{{2}^}{4}$=6，解得：b=3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查不等式取最小值時的條件，是一道中檔題．