Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M： （a＞b＞0）右焦點(diǎn)的直線(xiàn)x+y﹣ =0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為 ．
（1）求M的方程
（2）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線(xiàn)CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把右焦點(diǎn)（c，0）代入直線(xiàn)x+y﹣ =0得c+0﹣ =0，解得c= ．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P（x0，y0），

則 ， ，相減得 ，

∴ ，

∴ ，又 = ，

∴ ，即a2=2b2．

聯(lián)立得 ，解得 ，

∴M的方程為 ．

（2）解：∵CD⊥AB，∴可設(shè)直線(xiàn)CD的方程為y=x+t，

聯(lián)立 ，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，

∵直線(xiàn)CD與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．

設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），∴ ， ．

∴|CD|= = = ．

聯(lián)立 得到3x2﹣4 x=0，解得x=0或 ，

∴交點(diǎn)為A（0， ），B ，

∴|AB|= = ．

∴S四邊形ACBD= = = ，

∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，四邊形ACBD面積的最大值為 ，滿(mǎn)足（*）．

∴四邊形ACBD面積的最大值為 ．

【解析】（1）把右焦點(diǎn)（c，0）代入直線(xiàn)可解得c．設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P（x0 ， y0），利用“點(diǎn)差法”即可得到a，b的關(guān)系式，再與a2=b2+c2聯(lián)立即可得到a，b，c．（2）由CD⊥AB，可設(shè)直線(xiàn)CD的方程為y=x+t，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到弦長(zhǎng)|CD|．把直線(xiàn)x+y﹣ =0與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到弦長(zhǎng)|AB|，利用S四邊形ACBD= 即可得到關(guān)于t的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到其最大值．