Question

6．如圖，已知直線l⊥平面α，垂足為O，在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=2$\sqrt{2}$，點P是邊AC的中點．該三角形在空間按以下條件作自由移動：
（1）A∈l，（2）C∈α．則|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PB}$|的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 1+$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 將問題轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點間的距離最大問題：以O(shè)為原點，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標系，設(shè)∠ACO=θ，B（x，y），求出O、C兩點間的最大距離即可．

解答 解：以O(shè)為原點，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標系，如圖所示；
∵$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}$，
∴|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
又∵AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC是Rt△；
設(shè)∠ACO=θ，B（x，y），則：
x=ACcosθ+CBsinθ=2cosθ+2sinθ，
y=BCcosθ=2cosθ；
∴x²+y²=4cos²θ+8sinθcosθ+4sin²θ+4cos²θ
=2cos2θ+4sin2θ+6
=2$\sqrt{5}$sin（2θ+φ）+6，
當sin（2θ+φ）=1時，x²+y²最大，為2$\sqrt{5}$+6，
此時|$\overrightarrow{OB}$|的值最大，為1+$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應用問題，解題時應根據(jù)題意，建立適當?shù)淖鴺讼担�利用兩點間的距離公式進行計算，是綜合性題目．