Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，∠BAD=60°，E、E分別為BC、PA的中點．
（1）求證：ED⊥平面PAD；
（2）求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，證明DE⊥BC，DE⊥AD，然后證明DE⊥平面PAD．
（2）求解棱錐的底面面積與高，即可求解幾何體的體積．

解答 （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分（6分），第2小題滿分（8分）．
（1）連結(jié)BD，由已知得△ABD與△BCD都是正三角形，
所以，BD=2，DE⊥BC，…（1分）
因為AD∥BC，所以DE⊥AD，…（2分）
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DE，…（4分）
因為AD∩PD=D，所以DE⊥平面PAD．…（6分）
（2）因為${S_{△PDF}}=\frac{1}{2}{S_{△PDA}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{2^2}=1$，…（2分）
且$DE=\sqrt{3}$，…（4分）
所以，${V_{P-DEF}}={V_{E-PDF}}=\frac{1}{3}{S_{△PDF}}•DE=\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．  …（8分）

點評 本題考查空間幾何體的體積以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．