3.證明:f(x)=($\frac{1}{2}$x2+x)lnx-$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{4}$x2在(0,+∞)是減函數(shù).

分析 先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性得到f′(x)≤0,從而證出結(jié)論.

解答 證明:f′(x)=(x+1)lnx-x2+1=(x+1)[lnx-x+1],
令g(x)=lnx-x+1,則g′(x)=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$,
令g′(x)>0,解得:0<x<1,令g′(x)<0,解得:x>1,
∴g(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,
∴g(x)max=g(1)=ln1-1+1=0,
∴f′(x)≤0,
∴f(x)在(0,+∞)是減函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.如圖,掛在下方的小球做上下運(yùn)動(dòng),小球在t(s)時(shí)相對(duì)于平衡位置(即靜止的位置)的高度為h(單位:cm),由下列關(guān)系式確定:h=2sin(t+$\frac{π}{4}$),t∈[0,+∞).
以橫軸表示時(shí)間,縱軸表示高度,作出這個(gè)函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的簡(jiǎn)圖,并回答下列問(wèn)題:
(1)小球在開(kāi)始振動(dòng)(t=0)時(shí)的位置在哪里?
(2)小球的最高、最低位置時(shí)h的值是多少?
(3)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間小球振動(dòng)一次(即周期是多少)?
(4)小球每1秒能往復(fù)振動(dòng)多少次(即頻率是多少)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

14.設(shè)命題p:“?x>1,x2≥x,則其否定非p為( 。
A.?x>1,x2≤xB.$?{x}_{0}>1,{x}_{0}^{2}>{x}_{0}$
C.$?{x}_{0}≤1,{x}_{0}^{2}≤{x}_{0}$D.$?{x}_{0}>1,{x}_{0}^{2}<{x}_{0}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知函數(shù)f(x)=3x+k•3-x為奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)k的值;
(2)若關(guān)于x的不等式f(9${\;}^{a{x}^{2}-2x}$-1)+f(1-3ax-2)<0只有一個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.函數(shù)f(x)=1n(2-x)-$\frac{1}{x}$的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)f(x)在(-∞,-2),(1,2)上單調(diào)遞增,在(-2,0),(0,1)上單調(diào)遞減.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1(如圖),A1P=A1Q=A1R(P,Q,R在正方體的棱上),求證:平面PQR∥平面C1BD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.已知△ABC三點(diǎn)A(-3,4),B(1,2),C(5,-2).求該三角形三條中線所在直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.有一個(gè)正六棱錐(底面為正六邊形,側(cè)面為全等的等腰三角形的棱錐),底面邊長(zhǎng)為3cm,高為3cm,畫(huà)出這個(gè)正六棱錐的直觀圖.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.已知命題p:關(guān)于x的方程log2(ax2-2x+2)=2在[1,2]內(nèi)有解;命題q:函數(shù)f(x)=m(x2-1)+x-a的圖象與x軸有交點(diǎn).
(1)若p是真命題.求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若¬p是¬q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案