Question

15．|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，點(diǎn)D在∠CAB內(nèi)，且∠DAB=30°，設(shè)$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），則$\frac{λ}{μ}$等于（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由于∠DAB=30°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$y，y），由平面向量坐標(biāo)表示，可求出λ和μ．

解答 解：由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
以A為原點(diǎn)，以$\overrightarrow{AB}$所在的直線為x軸正半軸，以$\overrightarrow{AC}$所在的直線為y軸的正半軸，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∠DAB=30°設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$y，y），
$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），
即（$\sqrt{3}$y，y）=（λ，2μ），
$λ=\sqrt{3}y$，$μ=\frac{y}{2}$，
$\frac{λ}{μ}$=2$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察平面向量的坐標(biāo)表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．