Question

9．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），則滿(mǎn)足F（3）＞F（2x-1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-1，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式xf′（x）＜f（-x），等價(jià)為xf′（x）＜-f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∵F（x）=xf（x），
∴F′（x）=xf′（x）+f（x），
即當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，F(xiàn)′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴F（x）=xf（x）為偶數(shù)，且當(dāng)x＞0為增函數(shù)．
即不等式F（3）＞F（2x-1）等價(jià)為F（3）＞F（|2x-1|），
∴|2x-1|＜3，
∴-3＜2x-1＜3，
即-2＜2x＜4，
∴-1＜x＜2，
即實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-1，2），
故答案為：（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．