Question

3．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+2y-6≥0}\\{mx+y-4≤0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{xy}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$的最小值為$\frac{3}{13}$，則m的值為1或$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)分式的性質(zhì)，利用換元法，結(jié)合方程求出k的值，作出不等式組對應的平面區(qū)域利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵x≥1，∴z=$\frac{xy}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=$\frac{k}{1+k+{k}^{2}}$=$\frac{1}{k+\frac{1}{k}+1}$，
若z=$\frac{xy}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$的最小值為$\frac{3}{13}$，
則等價為k+$\frac{1}{k}$+1的最大值是$\frac{13}{3}$，
即k+$\frac{1}{k}$+1=$\frac{13}{3}$，則k+$\frac{1}{k}$=$\frac{13}{3}$-1=$\frac{10}{3}$，
則k=3或k=$\frac{1}{3}$，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
若k=$\frac{y}{x}$=3，即y=3x，
作出y=3x，則y=3x與x=1相交時$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（1，3），
此時C在直線mx+y-4=0得m+3-4=0，即m=1，
若k=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{3}$，即y=$\frac{1}{3}$x，
作出y=$\frac{1}{3}$x，則y=$\frac{1}{3}$x與x+2y-6=0相交時$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{x+2y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{18}{5}$，$\frac{6}{5}$），
此時A在直線mx+y-4=0得$\frac{18}{5}$m+$\frac{6}{5}$-4=0，即m=$\frac{7}{9}$，
綜上m=1或$\frac{7}{9}$，
故答案為：1或$\frac{7}{9}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用換元法結(jié)合分式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．