Question

6．已知A（0，0），B（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{π}{4}$，1），D（$\frac{π}{2}$，0），函數(shù)f（x）=sin（ωx）的圖象經(jīng)過且僅經(jīng)過上面四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)，則正整數(shù)ω的最小值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)f（0）=0的f（x）必過A點(diǎn)，且必過C，D中的一點(diǎn)，分f（x）過A，C和f（x）過A，D兩種情況討論f（x）的周期，解出f（x）的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)余下兩點(diǎn)的情況得出答案．

解答 解：由f（0）=sin0=0可知f（x）的圖象一點(diǎn)過A點(diǎn)．設(shè)f（x）的周期為T，
（1）若f（x）經(jīng)過A，C點(diǎn)，由于A，D關(guān)于C對(duì)稱，則f（x）必過D點(diǎn)．
則$\frac{π}{4}$=$\frac{T}{4}+kT$，即$\frac{π}{4}=（\frac{1}{4}+k）×\frac{2π}{ω}$．解得ω=8k+2．
此時(shí)，f（x）=sin（（8k+2）x）．
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{（8k+2）π}{6}$，
當(dāng)k=0時(shí)，f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不符合題意．
當(dāng)k=1時(shí)，f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{5π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．此時(shí)ω=10．
（2）若f（x）經(jīng)過A，D點(diǎn)，則$\frac{π}{2}$=$\frac{kT}{2}$，即$\frac{π}{2}$=$\frac{2kπ}{2ω}$，∴ω=2k．
∴f（x）=sin2kx．
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{kπ}{3}$，f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{kπ}{2}$．
當(dāng)k=1時(shí)，f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{2}$=1．不符合題意．
當(dāng)k=2時(shí)，f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=sinπ=0．符合題意，此時(shí)ω=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分情況討論思想，屬于中檔題．