Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$，則f（f（1））=-1；若關(guān)于x的方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有4個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是m＞0或-1＜m＜-$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 化簡f（1）=1+1-3=-1，從而求f（f（1））=-1；作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$的圖象，分類討論以確定方程的解的個數(shù)．

解答 解：f（1）=1+1-3=-1，
f（f（1））=f（-1）=（-1）³=-1；
作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$的圖象如下，
，
當(dāng)m＜-1時，f（x）=m的解x∈（-∞，-1）；
而x²+2x+$\frac{1}{2}$≥-$\frac{1}{2}$，
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$無解；
當(dāng)m=-1時，f（x）=m的解為x=-1或x=1；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=-1或x²+2x+$\frac{1}{2}$=1；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有兩個解；
當(dāng)-1＜m＜-$\frac{1}{8}$時，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\root{3}{m}$或x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂，
其中x₁，x₂是x+$\frac{1}{x}$-3=m的兩個不同的解；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\root{3}{m}$無解，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁有兩個不同的解，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂有兩個不同的解；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有四個不同的根；
當(dāng)m=-$\frac{1}{8}$時，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$或x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂，
其中x₁，x₂是x+$\frac{1}{x}$-3=-$\frac{1}{8}$的兩個不同的解；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$有一個解，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁有兩個不同的解，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂有兩個不同的解；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有5個不同的根；
當(dāng)-$\frac{1}{8}$＜m≤0時，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\root{3}{m}$或x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂，
其中x₁，x₂是x+$\frac{1}{x}$-3=m的兩個不同的解；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\root{3}{m}$有兩個不同的解，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁有兩個不同的解，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂有兩個不同的解；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有6個不同的根；
當(dāng)m＞0時，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁或x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂，
其中x₁，x₂是x+$\frac{1}{x}$-3=m的兩個不同的解；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁有兩個不同的解，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂有兩個不同的解；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有4個不同的根．
綜上所述，m＞0或-1＜m＜-$\frac{1}{8}$；
故答案為：m＞0或-1＜m＜-$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了分段函數(shù)．的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用．