Question

有n個(gè)首項(xiàng)都是1的等差數(shù)列，設(shè)第m個(gè)數(shù)列的第k項(xiàng)為a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差為d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差數(shù)列．若d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多項(xiàng)式），則p₁+p₂=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式表示出數(shù)列a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn中的第項(xiàng)減第2項(xiàng)，第3項(xiàng)減第4項(xiàng)，…，第n項(xiàng)減第n-1項(xiàng)，由此數(shù)列也為等差數(shù)列，得到表示出的差都相等，進(jìn)而得到d_n是首項(xiàng)d₁，公差為d₂-d₁的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出d_m的通項(xiàng)，令p₁=2-m，p₂=m-1，得證，求出p₁+p₂即可．

解答： 解：由題意知a_mn=1+（n-1）d_m．
則a_2n-a_1n=[1+（n-1）d₂]-[1+（n-1）d₁]=（n-1）（d₂-d₁），
同理，a_3n-a_2n=（n-1）（d₃-d₂），a_4n-a_3n=（n-1）（d₄-d₃），…，a_nn-a_（n-1）n=（n-1）（d_n-d_n-1）．
又因?yàn)閍_1n，a_2n，a_3n，a_nn成等差數(shù)列，所以a_2n-a_1n=a_3n-a_2n=…=a_nn-a_（n-1）n．
故d₂-d₁=d₃-d₂=…=d_n-d_n-1，即d_n是公差為d₂-d₁的等差數(shù)列．
所以，d_m=d₁+（m-1）（d₂-d₁）=（2-m）d₁+（m-1）d₂．
令p₁=2-m，p₂=m-1，則d_m=p₁d₁+p₂d₂，此時(shí)p₁+p₂=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡求值，考查了利用函數(shù)的思想解決實(shí)際問題的能力，是一道中檔題．