Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

|x|-1

的圖象與y軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)N是函數(shù)在x軸上方的圖象上的動點(diǎn)，則|

ON

+

OM

|的取值范圍是（　�。�

• A、[2，+∞）
• B、[

  3

  ，+∞）
• C、[1，+∞）
• D、[0，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：求出f（x）圖象與y軸的交點(diǎn)M，設(shè)出點(diǎn)N（x，

1

x-1

）（其中x＞1），計算

ON

、

OM

；
求出|

ON

+

OM

|的最值即可．

解答： 解：根據(jù)題意得，函數(shù)f（x）=

1

|x|-1

的圖象與y軸的交點(diǎn)M（0，-1），
設(shè)點(diǎn)N（x，

1

x-1

）（其中x＞1），
∴

ON

=（x，

1

x-1

）（其中x＞1），

OM

=（0，-1）；
∴

ON

+

OM

=（x，

1

x-1

-1）（其中x＞1），
∴|

ON

+

OM

|=

x2+( 1 x-1 -1)2

=

x2+( 2-x x-1 )2

（其中x＞1）；
設(shè)t=x²+(

2-x

x-1

)2，
∴t≥2x•

2-x

x-1

（其中x＞1），
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2-x

x-1

時，“=”成立，此時x=

2

；
∴x=

2

時，t有最小值t_min=2×

2

×

2

=4，
∴|

ON

+

OM

|≥2；
根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，得出x＜-1時也滿足該結(jié)論，
∴|

ON

+

OM

|的取值范圍是[2，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．