Question

【題目】已知，.

（1）求在處的切線方程；

（2）若，證明在上單調(diào)遞增；

（3）設對任意，成立求實數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）求出的導數(shù)，求得切線斜率及切點，由點斜式即可得切線方程；

（2）求出的導數(shù)，將證明在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為在上恒成立即可；

（3）先化簡求出，恒成立即恒成立，對求導，對進行討論，研究的最小值不小于零即可.

解：（1），，，

所以在處的切線方程為，即

（2），

則，

由于，故，

又，故，

故，即在上恒成立，

故在遞增；

（3），

由對任意，恒成立，

設，

則，

再設，

則，

∵，∴

因此在上遞增，

故，

①當時，即，

在遞增，故，

即適合題意，

②當時，，，

若，則取，時，，

若，則在上存在唯一零點，記為，

當時，，

總之﹐存在使時，

即，故遞減，，

故時，存在使，不合題意，

綜上，.