Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為四邊形，△ABD是邊長為2的正三角形，BC⊥CD，BC=CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角C-PB-D的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求PD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連AC交BD于點O，由平面幾何知識易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，利用線面面面垂直的判定與性質定理即可得出．
（Ⅱ）如圖，以O 為坐標原點，OC 為x 軸，OD 為y 軸，建立如圖空間直角坐標系，利用平面的法向量的夾角即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：連AC交BD于點O，由平面幾何知識易知AC⊥BD，
又平面ABCD⊥平面PBD，BD 是交線，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，
∴AC⊥PD，又PD⊥AB，AC∩AB=A，
∴PD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：如圖，以O 為坐標原點，OC 為x 軸，OD 為y 軸，
建立如圖空間直角坐標系，
設PD=a，則C（1，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），
P（0，1，a），
易知$\overrightarrow{n_1}=（1，0，0）$ 是平面PBD 的一個法向量，
$\overrightarrow{BC}=（1，1，0），\overrightarrow{BP}=（0，2，a）$，
設$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$ 是平面PBC 的一個法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+az=0}\end{array}\right.$，取 $\overrightarrow{n_2}=（a，-a，2）$，
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{a}{{1•\sqrt{2{a^2}+4}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
解得：a=1，∴PD 的長為1．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質定理、平面的法向量的夾角、數量積運算性質、向量夾角公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．