Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，當(dāng)橢圓上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)時(shí)，則實(shí)數(shù)m的范圍為：-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$＜m＜$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），利用平方差法與直線y=4x+m可求得x₀=-m，y₀=-3m，點(diǎn)M（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，將其坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得m的取值范圍．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，故3x²+4y²-12=0，
設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則3x₁²+4y₁²-12=0，①
3x₂²+4y₂²-12=0，②
①-②得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即 3•2x₀•（x₁-x₂）+4•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$．
∴y₀=3x₀，代入直線方程y=4x+m得x₀=-m，y₀=-3m；
因?yàn)椋▁₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，
∴3m²+4•（-3m）²＜12，即3m²+36m²＜12，
解得-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$＜m＜$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故答案為：-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$＜m＜$\frac{2\sqrt{13}}{13}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，著重考查平方差法的應(yīng)用，突出化歸思想的考查，屬于難題