Question

已知函數(shù)f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1處取得極值2．
（I）求f（x）的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2ax+a，若對于任意的x₁∈R，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（I）f′（x）=

m(x2+n)-mx•2x

(x2+n)2

=

-m(x2-n)

(x2+n)2

，
由題意可得

f′(1)=0 f(1)=2

，
∴

-m(1-n) (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
∴

m=4 n=1

∴f（x）=

4x

x2+1

（II）f′（x）=

-4(x2-1)

(x2+1)2

，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴f（x）在x=-1處取得極小值f（-1）=-2，在x=1處取得極大值f（1）=2
又∵x＞0時，f（x）＞0，∴f（x）的最小值為-2（10分）∵對于任意的x₁∈R，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）∴當(dāng)x∈[-1，1]時，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
當(dāng)a≤-1時，g（x）的最小值為g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
當(dāng)a≥1時，g（x）最小值為g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
當(dāng)-1＜a＜1時，g（x）的最小值為g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此時a不存在．（12分）
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．