Question

（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足，，，其中、為實數(shù)，且。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)，，，求數(shù)列的前項的和；

（Ⅲ）若對任意成立，證明：。

Answer 1

 本題主要考查數(shù)列的概念，數(shù)列通項公式的求法以及不等式的證明等；考查運算能力，綜合運用知識解決問題的能力。

解：（Ⅰ）方法一：∵，

∴當時，是首項為，公比為的等比數(shù)列。

∴，即，

當時，仍滿足上式，

∴數(shù)列的通項公式為，（）。

方法二：由題設(shè)得：

時，

∴

時也滿足上式。

∴數(shù)列的通項公式為，（）。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

，

∴

∴

∴。

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知

若，則。

∵，∴

由對任意的成立，知。

下證，用反證法。

方法一：假設(shè)。由函數(shù)的函數(shù)圖像知，當趨于無窮大時，趨于無窮大。

∴不能對恒成立，導致矛盾。

∴， ∴。

方法二：假設(shè)，∵，∴。

即（）恒成立   （*）

∵、為常數(shù)，∴（*）對不能恒成立

∴， ∴。