Question

【題目】已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）探究函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析； （3）.

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義得到在R上恒成立，可得；（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，然后根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可；（3）

由條件得，設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)方程根的分布的知識(shí)求解即可得到所求范圍．

（1）∵函數(shù)是偶函數(shù)，

∴，即，

整理得在R上恒成立，

∴．

（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增．證明如下：

當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，

則

，

∵，

∴，即，

∴，

∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．

（3）由題意得

．

令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

且，

∵函數(shù)有零點(diǎn)，

∴函數(shù)在上有零點(diǎn)．

①當(dāng)在上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

則，即，

解得；

②當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

則，即，

解得．

綜上可得．

∴當(dāng)函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．